TECNOLOGIA E INFORMATICA: Definicion formal

Definición formal[editar]

La definición más formal de campo eléctrico, válida también para cargas moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz, surge a partir de calcular la acción de una partícula cargada en movimiento a través de un campo electromagnético.² Este campo forma parte de un único campo electromagnético tensorial

F^{\mu\nu}

definido por un potencial cuadrivectorial de la forma:¹

(1) $F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}\quad; \qquad A^i = \left( \frac{\phi}{c},\bold{A} \right)$

donde

\phi

es el potencial escalar y

\scriptstyle \bold A

es el potencial vectorial tridimensional. Así, de acuerdo al principio de mínima acción, se plantea para una partícula en movimiento en un espacio cuadridimensional:

(2) $S = - \int_a^b (mc\text{ ds} + \frac{e}{c}A_i \text{ dx}^i)$

donde

e

es la carga de la partícula,

m

es su masa y

c

la velocidad de la luz. Reemplazando (1) en (2) y conociendo que

dx^i = u^i ds

, donde

dx^i

es el diferencial de la posición definida

dx^i = (cdt, dx, dy, dz)

u^i

es la velocidad de la partícula, se obtiene:

(3) $S = - \int_a^b (mc\text{ ds} + \frac{e}{c}\bold{A}\cdot\text{d}\bold{\text{r}} - e \phi\text{ dt})$

El término dentro de la integral se conoce como el lagrangiano del sistema; derivando esta expresión con respecto a la velocidad se obtiene el momento de la partícula, y aplicando lasecuaciones de Euler-Lagrange se encuentra que la variación temporal de la cantidad de movimiento de la partícula es:

(4) $\frac{d \bold{p}}{dt} = - \frac{e}{c} \frac{\partial \bold{A}}{\partial t} - e \boldsymbol\nabla \phi + \frac{e}{c} \bold{v} \times (\boldsymbol\nabla \times \bold A)$

De donde se obtiene la fuerza total de la partícula. Los dos primeros términos son independientes de la velocidad de la partícula, mientras que el último depende de ella. Entonces a los dos primeros se les asocia el campo eléctrico y al tercero el campo magnético. Así se encuentra la definición más general para el campo eléctrico:²

(5) $\bold{E} = -\frac{1}{c} \frac{\part \bold A}{\part t} - \boldsymbol\nabla \phi$

La ecuación (5) brinda mucha información acerca del campo eléctrico. Por un lado, el primer término indica que un campo eléctrico es producido por la variación temporal de un potencial vectorial descrito como