martes, 10 de noviembre de 2015

campo electrico

Campo eléctrico

Campo eléctrico producido por un conjunto de cargas puntuales. Se muestra en rosa la suma vectorial de los campos de las cargas individuales;

\vec E =\vec E_1 +\vec E_2 + \vec E_3

El campo eléctrico es un campo físico que es representado mediante un modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica.¹ Se describe como un campo vectorial en el cual una carga eléctrica puntual de valor

q

sufre los efectos de una fuerza eléctrica

\vec F

dada por la siguiente ecuación:

(1) $\vec F = q \vec E$

En los modelos relativistas actuales, el campo eléctrico se incorpora, junto con el campo magnético, en campo tensorial cuadridimensional, denominado campo electromagnético F^μν.²

Los campos eléctricos pueden tener su origen tanto en cargas eléctricas como en campos magnéticos variables. Las primeras descripciones de los fenómenos eléctricos, como la ley de Coulomb, solo tenían en cuenta las cargas eléctricas, pero las investigaciones de Michael Faraday y los estudios posteriores de James Clerk Maxwell permitieron establecer las leyes completas en las que también se tiene en cuenta la variación del campo magnético.

Esta definición general indica que el campo no es directamente medible, sino que lo que es observable es su efecto sobre alguna carga colocada en su seno. La idea de campo eléctrico fue propuesta por Faraday al demostrar el principio de inducción electromagnética en el año 1832.

La unidad del campo eléctrico en el SI es Newton por Culombio (N/C), Voltio por metro (V/m) o, en unidades básicas, kg·m·s⁻³·A⁻¹ y la ecuación dimensional es MLT^-3I^-1.

definicion

Definición[editar]

La presencia de carga eléctrica en una región del espacio modifica las características de dicho espacio dando lugar a un campo eléctrico. Así pues, podemos considerar un campo eléctrico como una región del espacio cuyas propiedades han sido modificadas por la presencia de una carga eléctrica, de tal modo que al introducir en dicho campo eléctrico una nueva carga eléctrica, esta experimentará una fuerza.

El campo eléctrico se representa matemáticamente mediante el vector campo eléctrico, definido como el cociente entre la fuerza eléctrica que experimenta una carga testigo y el valor de esa carga testigo (una carga testigo positiva).

La definición más intuitiva del campo eléctrico se la puede dar mediante la ley de Coulomb. Esta ley, una vez generalizada, permite expresar el campo entre distribuciones de carga en reposo relativo. Sin embargo, para cargas en movimiento se requiere una definición más formal y completa, se requiere el uso de cuadrivectores y el principio de mínima acción. A continuación se describen ambas.

Debe tenerse presente de todas maneras que desde el punto de vista relativista, la definición de campo eléctrico es relativa y no absoluta, y

a que observadores en movimien

ley de gauss

Ley de Gauss[editar]

Artículo principal: Ley de Gauss

Para conocer una de las propiedades del campo eléctrico se estudia qué ocurre con el flujo de este al atravesar una superficie. El flujo de un campo

\Phi

se obtiene de la siguiente manera:

(8) $\Phi_E = \oint_S \vec E \cdot d\vec a$

donde

d \vec a

es el diferencial de área en dirección normal a la superficie. Aplicando la ecuación (7) en (8) y analizando el flujo a través de una superficie cerrada se encuentra que:

(9) $\oint_S \vec E \cdot d\vec a = \frac{1}{\epsilon_0} Q_{enc}$

donde

Q_{enc}

es la carga encerrada en esa superficie. La ecuación (9) es conocida como la ley integral de Gauss y su forma derivada es:

(10) $\vec\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$

donde

\rho

es la densidad volumétrica de carga. Esto indica que el campo eléctrico diverge hacia una distribución de carga; en otras palabras, que el campo eléctrico comienza en una carga y termina en otra.¹

Esta idea puede ser visualizada mediante el concepto de líneas de campo. Si se tiene una carga en un punto, el campo eléctrico estaría dirigido hacia la otra carga.

ley de coulomb

Definición mediante la ley de Coulomb[editar]

Campo eléctrico de una distribución lineal de carga. Una carga puntual P es sometida a una fuerza en dirección radial

\vec u_r

por una distribución de carga

\lambda

en forma de diferencial de línea (

dL

), lo que produce un campo eléctrico

d\vec E

Partiendo de la ley de Coulomb que expresa que la fuerza entre dos cargas en reposo relativo depende del cuadrado de la distancia, matemáticamente es igual a:¹

$\bold{F}_{12} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2_{12}} \hat{\bold{r}}_{12}$

Donde:

\scriptstyle \epsilon_0

es la permitividad eléctrica del vacío, constante definida en el sistema internacional,

q_1,\ q_2

son las cargas que interactúan,

r = \|\bold{r}_{12}\|

es la distancia entre ambas cargas,

\bold{r}_{12}

, es el vector de posición relativa de la carga 2 respecto a la carga 1.

\hat r

es el unitario en la dirección

\vec r

. Nótese que en la fórmula se está usando

\epsilon_0

, esta es la permitividad en el vacío. Para calcular la interacción en otro medio es necesario cambiar la permitividad de dicho medio. (

\epsilon = \epsilon_r . \epsilon_0

)

La ley anterior presuponía que la posición de una partícula en un instante dado, hace que su campo eléctrico afecte en el mismo instante a cualquier otra carga. Ese tipo de interacciones en las que el efecto sobre el resto de partículas parece depender solo de la posición de la partícula causante sin importar la distancia entre las partículas se denomina en física acción a distancia. Si bien la noción de acción a distancia fue aceptada inicialmente por el propio Newton, experimentos más cuidados a lo largo del siglo XIX llevaron a desechar dicha noción como no-realista. En ese contexto se pensó que el campo eléctrico no solo era un artificio matemático sino un ente físico que se propaga a una velocidad finita (la velocidad de la luz) hasta afectar a otras partículas. Esa idea conllevaba modificar la ley de Coulomb de acuerdo con los requerimientos de la teoría de la relatividad y dotar de entidad física al campo eléctrico.¹Así, el campo eléctrico es una distorsión electromagnética que sufre el espacio debido a la presencia de una carga. Considerando esto se puede obtener una expresión del campo eléctrico cuando este solo depende de la distancia entre las cargas:

Definicion formal

Definición formal[editar]

La definición más formal de campo eléctrico, válida también para cargas moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz, surge a partir de calcular la acción de una partícula cargada en movimiento a través de un campo electromagnético.² Este campo forma parte de un único campo electromagnético tensorial

F^{\mu\nu}

definido por un potencial cuadrivectorial de la forma:¹

(1) $F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}\quad; \qquad A^i = \left( \frac{\phi}{c},\bold{A} \right)$

donde

\phi

es el potencial escalar y

\scriptstyle \bold A

es el potencial vectorial tridimensional. Así, de acuerdo al principio de mínima acción, se plantea para una partícula en movimiento en un espacio cuadridimensional:

(2) $S = - \int_a^b (mc\text{ ds} + \frac{e}{c}A_i \text{ dx}^i)$

donde

e

es la carga de la partícula,

m

es su masa y

c

la velocidad de la luz. Reemplazando (1) en (2) y conociendo que

dx^i = u^i ds

, donde

dx^i

es el diferencial de la posición definida

dx^i = (cdt, dx, dy, dz)

u^i

es la velocidad de la partícula, se obtiene:

(3) $S = - \int_a^b (mc\text{ ds} + \frac{e}{c}\bold{A}\cdot\text{d}\bold{\text{r}} - e \phi\text{ dt})$

El término dentro de la integral se conoce como el lagrangiano del sistema; derivando esta expresión con respecto a la velocidad se obtiene el momento de la partícula, y aplicando lasecuaciones de Euler-Lagrange se encuentra que la variación temporal de la cantidad de movimiento de la partícula es:

(4) $\frac{d \bold{p}}{dt} = - \frac{e}{c} \frac{\partial \bold{A}}{\partial t} - e \boldsymbol\nabla \phi + \frac{e}{c} \bold{v} \times (\boldsymbol\nabla \times \bold A)$

De donde se obtiene la fuerza total de la partícula. Los dos primeros términos son independientes de la velocidad de la partícula, mientras que el último depende de ella. Entonces a los dos primeros se les asocia el campo eléctrico y al tercero el campo magnético. Así se encuentra la definición más general para el campo eléctrico:²

(5) $\bold{E} = -\frac{1}{c} \frac{\part \bold A}{\part t} - \boldsymbol\nabla \phi$

La ecuación (5) brinda mucha información acerca del campo eléctrico. Por un lado, el primer término indica que un campo eléctrico es producido por la variación temporal de un potencial vectorial descrito como

\scriptstyle \bold B = \boldsymbol \nabla \times \bold A

donde

\scriptstyle \bold B

es el campo magnético; y por otro, el segundo representa la muy conocida descripción del campo como el gradiente de un potencial.²

Campo electrodinamico

Campo electrodinámico (movimiento uniforme)[editar]

El campo eléctrico creado por una carga puntual presenta isotropía espacial, en cambio, el campo creado por una carga en movimiento tiene un campo más intenso en el plano perpendicular a la velocidad de acuerdo a las predicciones de la teoría de la relatividad. Esto sucede porque para un observador en reposo respecto a una carga que se mueve con velocidad uniforme la distancia en la dirección del movimiento de la carga serán menores que las medidas por un observador en reposo respecto a la carga, por efecto de la contracción de Lorentz, suponiendo que la carga se mueve a lo largo del eje X de observador tendríamos la siguiente relación de coordenadas entre lo medido por el observador en movimiento respecto a la carga

\scriptstyle (\bar{x},\bar{y},\bar{z})

y el observador en reposo respecto a la carga

\scriptstyle (x, y, z)

$\bar{x} = \frac{x- Vt}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}, \quad \bar{y} = y, \quad \bar{z}=z$

Siendo V la velocidad de la carga respecto al observador, así la distancia efectiva a la carga medida por el observador en movimiento respecto a la carga cumplirá que:

$\bar{r}^2 = \frac{(x-Vt)^2 + (1-\frac{V^2}{c^2})(y^2+z^2)}{1-\frac{V^2}{c^2}}$

Y por tanto el campo eléctrico medido por un observador en movimiento respecto a la carga será:

(19) $\bold{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{\|\bar{r}\|^3}\bar{\bold{r}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q\left( 1-\frac{V^2}{c^2} \right)}{r^3\left( 1-\frac{V^2}{c^2}\sin^2 \theta \right)^{3/2}}\bold{r}$

Donde

\scriptstyle \theta

es el ángulo formado por el vector de posición del punto donde se mide el campo (respecto a la carga) y la velocidad del movimiento. De esta última expresión se observa que si se considera una esfera de radio r alrededor de la carga el campo es más intenso en el "ecuador", tomando como polos norte y sur la interasección de la esfera con la trayectoria de la partícula, puede verse que el campo sobre la esfera varía entre un máximo

\scriptstyle E_\bot

y un mínimo

\scriptstyle E_\|

dados por:

(20) $E_\| =\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q\left( 1-\frac{V^2}{c^2} \right)}{r^2}, \qquad E_\bot = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2\sqrt{ 1-\frac{V^2}{c^2}}}$

Esta pérdida de simetría esférica es poco notoria para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz y se hace muy marcada a velocidades cercanas a la luz.